Federico Villarreal

A la edad de 23 años, descubrió el método para elevar un polinomio a una potencia cualquiera. Este gran descubrimiento, fue llamado "Polinomio Villareal", y resulta más fácil y rápido que el método del binomio de Newton.


 
En 1877, superando todos los obstáculos, Federico Villarreal estuvo en marzo para los exámenes de ingreso convocados por la Universidad Nacional Mayor de San Marcos, en los cuales tuvo éxito, ingresando a la Facultad de Ciencias.

Al concluir el primer año obtuvo los premios de Geometría descriptiva, Revisión de Matemática y Geometría analítica. Durante los tres años siguientes ganó nuevamente el primer puesto en los cursos principales y consecuentemente obtuvo una beca que lo exoneraba de los pagos por derecho universitario en el bachillerato (1879) y la licenciatura (1880). Sus tesis se titulan "Las fórmulas y métodos que deben complementarse en matemática pura "y "El efecto de refracción sobre el disco de los astros".


Villarreal concluyó su carrera en la Facultad de Ciencias, optando el grado de doctor el 23 de septiembre de 1881, con calificaciones sobresalientes. Fue el primer doctor en matemática egresado de dicha universidad.

Al producirse la Guerra del Pacífico (1879), recién ungido con sus primeros grados universitarios, se alista en las filas de los defensores de la patria. No sólo comparte el sacrificio de la batalla del Morro Solar de Chorrillos, sino que cae herido en los campos de San Juan y Miraflores, ostentando la clase de subteniente del 18 Batallón de Infantería.

A los 31 años postuló a la antigua Escuela de Ingenieros (hoy Universidad Nacional de Ingeniería), donde no tuvo reparo en compartir las aulas estudiantiles con bisoños aspirantes al título de ingeniero de construcción civil. Se graduó como Ingeniero civil en la escuela de ingeniería de la Universidad Nacional Mayor de San Marcos y se doctoró como matemático.

Siendo un sencillo profesor de secundaria, con sólo 23 años y sin haber estudiado en una universidad, Villarreal descubre el método para elevar un polinomio cualquiera a una potencia cualquiera. Lo más interesante de su vida científica es el hecho de que efectuó contribuciones originales al desarrollo de las matemáticas e ingeniería, algo pocas veces visto en los matemáticos de habla española. Es por todas estas razones que a Villarreal se le puede decir con toda justicia: "El Newton del Perú".

En 1873, encontrándose en su pueblo natal Túcume del departamento de Lambayeque (Perú), Federico Villarreal V. (1850-1923) descubre un método para elevar un polinomio cualquiera a una potencia cualquiera. Este hecho provocó que otro matemático peruano Cristóbal de Losada y Puga (1894-1961) estudiase a profundidad este descubrimiento y bautizase el desarrollo de la potencia del polinomio como el "Polinomio de Villarreal". El historiador peruano Jorge Basadre en su "Historia de la República del Perú" (Tomo X, pag.28) dice: "Es tan perfecto que aun para el caso de un binomio resulta más fácil y seguro y rápido que el método del binomio de Newton". En su tesis de 1879 para optar el grado de bachiller en ciencias matemáticas titulado:"Fórmulas y métodos que deben completarse en matemáticas puras" Villarreal inserta su método pasando desapercibido - según él - "por el estado de las matemáticas en el Perú". Este novedoso método Villareal lo publica por primera vez el 31 de marzo de 1886 en la revista "La Gaceta Científica" (2º tomo) pero como siempre sucede en nuestro medio muy pocas personas le dieron la debida importancia a su trabajo.

En 1919 Villarreal nuevamente publica su método esta vez en la "Revista de Ciencias" bajo el título de: "Elevación de polinomios a una potencia cualquiera" que es justamente el título de este trabajo.

EL POLINOMIO VILLARREAL

El 21 de octubre de 1879 Federico Villarreal presenta su tesis para optar el grado de Bachiller en Matemáticas, la cual estaba conformado de 4 temas:
  1. Elevación de Polinomios
  2. Transformación de Imaginarias
  3. Volumen de Cuerpos Regulares
  4. Integración por Partes
En el primer tema insertó un método para poder elevar un polinomio a un exponente cualquiera (real o complejo), este método es recursivo y de fácil aplicación. Describirémos este método de la manera como fue planteada en dicha tesis:
Sea P(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n un polinomio, el cual elevaremos al exponente “m” (este puede ser real o complejo) es decir:
(P(x))^m=(a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n)^m\ \ \ \ m\in\Bbb R\ \ \vee\ \ m\in\Bbb C
la expresión resultante la denotamos por:
(P(x))^m=b_0+b_1x+b_2x^2+\cdots
Notemos que el resultado puede ser otro polinomio de grado “m.n” si el exponente “m” fuera un número entero positivo, en tanto que si fuera real (no entero positivo) o complejo resultaría una serie infinita.
El método de villarreal establece previamente una simbología:
  • El primer término del polinomio elevado al exponente de la potencia es el primero del desarrollo, de modo que se puede siempre suponer conocido a lo menos un término de la potencia, así tendremos: {b_0} = {a_0}^m.
  • Dividase el 2^{do} término del polinomio entre el primero y llámese el cociente C^{\prime} , dividase el 3^{er} término entre el primero y sea el cociente C^{\prime\prime}, el cuarto término entre el primero y sea el cociente C^{\prime\prime\prime} ….  es decir dividiendo cada término del polinomio, desde el segundo inclusive entre el primero, se obtendrán tantos cocientes como términos menos uno tiene el polinomio.
  • Aumentese uno al exponente de la potencia y llamando su suma i tendremos los índices: i,2i,3i, … es decir multiplicando los números naturales uno, dos, tres,…   por el exponente aumentado en uno, se pueden obtener tantos índices como términos menos uno tiene el polinomio.
  • Un término cualquiera se forma sumando los productos siguientes: el ultimo termino {b_{r - 1}} multiplicado por el primer cociente C’ y por el índice disminuido en el número de términos sacados y dividido entre el mismo número de términos \frac{{i - r}}{r}, el penúltimo término {b_{r - 2}}  multiplicado por el segundo cociente C’’ y por el segundo índice disminuido en el número de términos sacados y dividido entre el mismo número de términos \frac{{2i - r}}{r}, el antepenúltimo término {b_{r - 3}}  multiplicado por el tercer cociente C’’’ y por el tercer índice disminuido en el número de términos sacados y dividido entre el mismo número de términos \frac{{3i - r}}{r}, ……., así tendremos: b_r=b_{r-1}C'\frac{i-r}{r}+b_{r-2}C''\frac{2i-r}{r}+b_ {r-3}C'''\frac{3i-r}{r}+\cdots
EJEMPLO:
Supongamos que deseamos obtener \sqrt{3} con una cierta aproximación (por definir), entonces podemos proceder de la siguiente manera:
  1. Considerar \sqrt{3} como el resultado de sacar la raíz cuadrada a la  evaluación en un determinado valor de la variable x del polinomio P(x)=(1+x+x^2), es decir: \sqrt{3}=(P(1))^{1/2}=(1+1+1)^{1/2}
  2. La expresión resultante es una serie infinita, cuyos terminos podemos calcular uno a uno mediante el método de Villarreal.
Para hacer los cálculos respectivos fijamos la simbología establecida anteriormente:
C^{\prime}=1/1=1
C ^{\prime\prime}=1/1=1
i=1/2+1=3/2
2i=2\times3/2=3
Ahora recurrimos al método de Villarreal:
b_0=1^{1/2}=1
b_1=1\times1\times\frac{\frac{3}{2}-\frac{1}{2}}{1/2}=2
b_2=2\times1\times\frac{3/2-1/2}{1/2}+1\times1\times\frac{3/2-1/2}{1/2}= 6
\vdots


Luego obtendremos el siguiente resultado:
(P(x))^{1/2}=(1+x+x^2)^{1/2}=1+2x+6x^2+\cdots
Para poder hacer  la aproximación adecuada consideramos la condición de convergencia de Newton:
(P(x))^{1/2}=(1+x+x^2)^{1/2} converge \Longleftrightarrow \left|x+x^2\right|\leq 1
es decir se dá la convergencia si : -\frac{1}{2}\leq x\leq \frac{\sqrt{5}-1}{2}
Luego si hacemos x=-1/2  en la expresión resultante:
(P(-1/2))^{1/2}=1+(-1/2)+(-1/2)^2+\cdots \approx 1.5
Esto significa que la convergencia será mas adecuada si tomasemos más términos en la expresión resultante